亀がアキレスに言ったこと

アキレスは、亀に追いついて、甲羅の上に座ってくつろいでいました。

「じゃあ貴方は競走コースのゴールに到着したというんですか？」亀は言いました。「コースは無限級数の距離からなるというのに。ゴールなんてできないって、誰だったか頭のいい人が証明したんじゃありませんでしたっけ。」

「できたんだよ」アキレスは言いました。「やってやった！　案ずるより歩くが易し。分かるだろ、距離はだんだん減っていくんだ。だから…」

「でも、だんだん増えていくとしたら？」亀は遮って言いました。「そしたらどうですか？」

「そしたら俺はここにいないだろうね」アキレスは謙遜して答えました。「それで君は今ごろ世界を何周もしてるだろう！」

「褒めすぎ…、いえ、重すぎです」亀が言いました。「なにしろ貴方はとても重々しい。間違いようもありません。ところで、ある競走コースの話をお聞かせしましょうか。二歩か三歩のステップでゴールに着きそうだとみんなが思うのに、実際には無限の距離からなるコースで、しかもどんどん長くなっていくんです。」

「ぜひ！」ギリシアの戦士はそう言って、巨大なノートと鉛筆をヘルメットから（ポケットなんてありませんからね）引っ張り出しました。「続けてくれ！　ただし話はゆっくりと頼むよ。速記術なんてまだ発明されていないんだから！」

「かの美しき、ユークリッドの第一命題！」亀は夢見るようにささやきました。「ユークリッド幾何学を愛していますか？」

「情熱的に！　少なくとも、今から何世紀も経たないと書かれない文献を愛する、なんてことができるならね！」

「それでは、第一命題にまつわる議論をちょっとだけ取り上げましょう。二つのステップと、そこから引き出される帰結、その三つだけです。どうぞ、ノートに書き込んでください。話がしやすいように、それらをＡ、Ｂ、Ｚと呼ぶことにしましょう。

（Ａ）同一のものに等しい二つのものは、互いに等しい。
（Ｂ）この三角形の二つの辺は、同一のものに等しい。
（Ｚ）この三角形の二つの辺は、互いに等しい。

ユークリッドの読者は、ＡとＢからＺを論理的に導けると考えていますよね。つまり、ＡとＢを真だと認める人は誰でも、Ｚが真だと認めなければならない、と。」

「間違いない！　高校に入ったばかりの子供でも分かるだろう。高校が発明されればすぐだよ、それまであと二千年くらいかかるかもしれないが。」

「もし、ＡとＢを真だと認めない読者がいたとしても、この一連の流れ自体が妥当なものだということは認めるでしょうね？」

「そういう読者も間違いなくいるだろう。彼はこう言うんだ、『もしＡとＢが真であるとしたらＺは真でなければならない、という仮言命題（＝仮定を含んだ命題）が真であることは認めるよ。でもＡやＢが真だとは認められない』。そんな読者は、ユークリッドを捨ててフットボールをやるのが賢明だろうな。」

「他に、こんなことを言う読者はいないでしょうかね、『私はＡとＢを真だと認めるけど、その仮言命題は受け入れないよ』なんて。」

「確実にいるだろう。彼もフットボールをやったほうがいいな。」

「どちらの読者も」亀は続けました。「Ｚを真だと認めることに論理的必然性があるとは、まだ思えないんじゃないでしょうか。」

「全くその通りだ」アキレスは同意しました。

「では、私を、いま言った二番目の読者と見なして下さい。そして論理的に、Ｚを真であると私に認めさせてください。」

「フットボールをやる亀なんて…」アキレスは言いかけました。

「珍妙です、もちろん」亀はあわてて遮りました。「話をそらさないで下さい。まずはＺのことです、フットボールは後で！」

「Ｚを認めさせればいいんだな、俺は。」アキレスは考えながら言いました。「今の君の立場は、ＡとＢは認めるが、仮言命題は認めない。そうだな？」

「それをＣと呼びましょう」亀は言いました。

「君が認めないのは…、
（Ｃ）もしＡとＢが真ならばＺは真でなければならない。」

「そう、それが今の私の立場です」亀は言いました。

「じゃあ、Ｃを認めるように君にお願いしなければいけない。」

「認めますよ」亀は言いました。「貴方がそのノートに書き加えてくれればすぐにね。他に何が書いてあるんですか？」

「ちょっとしたメモだけだ」アキレスは、神経質そうにページをパラパラめくりながら言いました。「ちょっとした…、自分が活躍した戦いのメモだ！」

「白いページがたくさんありますね！」亀は明るい声で言いました。「それ全部必要になりますよ！」（アキレスは震えました。）「では私の言うとおり書いて下さい。
（Ａ）同一のものに等しい二つのものは、互いに等しい。
（Ｂ）この三角形の二つの辺は、同一のものに等しい。
（Ｃ）もしＡとＢが真ならば、Ｚは真でなければならない。
（Ｚ）この三角形の二つの辺は、互いに等しい。」

「Ｄと呼ぶべきじゃないか、Ｚじゃなくて。」アキレスは言いました。「他の三つの次なんだからな。もし君がＡとＢとＣを認めるなら、Ｚを認めなければならない。」

「どうして、認めなければならないんですか？」

「論理的に導かれるからだ。もしＡとＢとＣが真なら、Ｚは真でなければならない。君だって疑いようがないだろう。」

「もしＡとＢとＣが真なら、Ｚは真でなければならない」亀は考え込むように繰り返しました。「それはまた別の仮言命題ではないですか。それが真だということが分からなければ、私は、ＡとＢとＣを認めても、まだＺを認めないかもしれませんよ？」

「そうだな」誠実にも英雄は認めました。「全く驚異的な鈍感さだが、そういうこともありうる。では、君にもう一つ仮言命題を受け入れるようお願いしなければならない。」

「よろしい。喜んで受け入れましょう、貴方が書き留めたらすぐにね。それをＤと呼びましょう、
（Ｄ）もしＡとＢとＣが真ならば、Ｚは真でなければならない。
ノートに記入しましたか？」

「したとも！」アキレスは楽しそうに叫んで、鉛筆をケースにしまいました。「ついにこの観念的な競走コースのゴールに着いた！　いまや君はＡとＢとＣとＤを認めたのだ、当然、Ｚを認めるだろう。」

「私が？」亀は無邪気に言いました。「きっぱりはっきりさせましょう。私はＡとＢとＣとＤを認めた。それでも、私がＺを認めることを拒否するとしたら？」

「その時は、論理が君ののどにつかみかかって、無理にでも認めさせるだろう！」アキレスは勝ち誇って答えました。「論理は君に告げる。『お前に自由は無いぞ。ＡとＢとＣとＤを認めたからには、Ｚを認めねばならない！』　だから君に選択の余地は無いんだ。」

「論理が私に教えてくれるような素晴らしいことなら、書き留めておく価値があります」亀は言いました。「どうぞ、ノートに記入してください。それを、こう呼びましょう。
（Ｅ）もしＡとＢとＣとＤが真なら、Ｚは真でなければならない。
私がそれを受け入れるまでは、当然ながら、Ｚを受け入れる必要はありません。これはやむを得ないステップです、そうですよね？」

「そうだ」アキレスは言いました。その声は悲しげでした。

ここで語り手は、銀行に行く急ぎの用事がありましたので、幸せな二人組のもとをやむなく立ち去りました。そしてその場所を再び通ったのは、数ヶ月後のことでした。アキレスは、まだ我慢強い亀の背中に座っており、書き込みを続けていて、ノートはもういっぱいになりそうでした。亀が言っていました。「最後のステップを書き込みましたか？　数え間違いがなければ、千一番目です。これからまだ数百万はありますよ。ところで、もし良ければ、これは個人的な好意で申し上げるのですが、私たちの対話が十九世紀の論理学者たちにいかにたくさんの教訓を与えるかを踏まえて…、十九世紀に私のイトコの海亀モドキが言いそうな冗談なのですが、もし良ければ、トータスならぬ『トート・アス（私たちに教えた）』と呼ばせて頂けないでしょうか」

「好きにしてくれ！」へとへとの戦士は、両手で顔を覆いながら、全てを諦めた様子で答えました。「君のほうこそ、海亀モドキが決して言わなそうな冗談で、『呆れす』に改名するといい！」