●「ログイン」と「ログオン」

「ログイン」と「ログオン」、どちらも、コンピュータの電源を入れて自分のアカウントでアクセスを開始するときの操作のことで、
　「ログイン」が UNIX や Mac 系のパソコンにおいて使用されるのに対し、
　「ログオン」は Windows 系のパソコンにおいて使用されています。
しかし、いずれの場合も同様の操作であり、要は単なる呼び方の違いだけです。

●「ログアウト」と「ログオフ」

「ログアウト」と「ログオフ」も「ログイン」と「ログオン」と同じく、単なる呼び方の違いだけで、どちらも本質的な違いはありません。
一般的に、対義語として、
　「ログイン（log in）」に対しては「ログアウト（log out）」
　「ログオン（log on）」に対しては「ログオフ（log off）」
を使います。

●昔は「ログイン」「ログアウト」

私の古い記憶では、昔は「ログイン」「ログアウト」だけだったはず。
と思って、いろいろ調べて分かったのは、
・もともとコンピュータの世界では「ログイン」「ログアウト」が用いられていた
・マイクロソフトが Windows発売時に「ログオン」「ログオフ」に変えようとした
・結局、全てを変えることはできず、中途半端に併存
のようでした。

そういえば、昔「ログイン（LOGiN）」というコンピュータ雑誌がありましたが、創刊は1982年で、Windowsが生まれる（1993年 Windows3.1発売）ずっと前から「ログイン」だったわけです。

ログインとログオンは呼び方の違いだけで、本質的な違いはなし ログインに対してはログアウト、ログオンに対してはログオフ 中途半端に併存しているのはゲイツの仕業