●「ログイン」と「ログオン」

「ログイン」と「ログオン」、どちらも、コンピュータの電源を入れて自分のアカウントでアクセスを開始するときの操作のことで、
　「ログイン」が UNIX や Mac 系のパソコンにおいて使用されるのに対し、
　「ログオン」は Windows 系のパソコンにおいて使用されています。
しかし、いずれの場合も同様の操作であり、要は単なる呼び方の違いだけです。

●「ログアウト」と「ログオフ」

「ログアウト」と「ログオフ」も「ログイン」と「ログオン」と同じく、単なる呼び方の違いだけで、どちらも本質的な違いはありません。
一般的に、
　「ログイン（log in）」に対しては「ログアウト（log out）」
　「ログオン（log on）」に対しては「ログオフ（log off）」
を使います。
in に対して out、on に対しては off が対義語なので、「ログイン」したパソコンを「ログオフ」するとは言いません。
まぁ呼び方の違いだけなので、間違ったところでカッコ悪いだけで実害はありません。

●最近は「サインイン」と「サインアウト」も

最近は（といっても登場したのはずいぶん前ですが）「サインイン」と「サインアウト」もよく使われます。
こちらは「自分のアカウントで接続（アクセス）する」という意味合いが強く、パソコンの起動時だけでなく、アプリケーションを立ち上げる際にも使われます。
自分の名前で署名（サイン：Sign）してサービスの利用を開始する、といったイメージでしょうか。
こちらも「サインイン（Sign in）」に対しては「サインアウト（Sign out）」を使い、「ログアウト」や「ログオフ」は使われません。
また、「サインオン（Sign on）」「サインオフ（Sign off）」といった用語も一応あるようですが、ほとんど使われていません。

●昔は「ログイン」「ログアウト」

私の古い記憶では、昔は「ログイン」「ログアウト」だけだったはず。
と思って、いろいろ調べて分かったのは、
・もともとコンピュータの世界では「ログイン」「ログアウト」が用いられていた
・マイクロソフトが Windows発売時に「ログオン」「ログオフ」に変えようとした
・結局、全てを変えることはできず、中途半端に併存
ということのようでした。

そういえば、昔「ログイン（LOGiN）」というコンピュータ雑誌がありましたが、創刊は1982年で、Windowsが生まれる（1993年 Windows3.1発売）ずっと前から「ログイン」だったわけです。